La sezione aurea
Che cosa hanno in comune la disposizione dei petali di rosa e dei semi nelle mele, la forma a spirale di alcune galassie, un quadro come Il Sacramento dell’ultima cena di Dalì, i progetti di Le Corbusier e la successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …)? Per quanto possa sembrare strano, in realtà questi elementi disparati sono tutti correlati tra loro da un numero particolare: una grandezza geometrica scoperta dai Pitagorici, definita da Euclide, illustrata da Leonardo sotto il nome di “divina proporzione†e infine studiata a fondo nell’Ottocento, quando si è ridefinita “sezione aureaâ€. Tale grandezza è simboleggiata dalla lettera greca phi (Φ) ed ha un valore di 1,6180…; fa parte degli irrazionali (non esprimibili da una frazione di numeri) e come tale composta da una serie infinita di decimali, che non presentano uno schema ripetitivo definito.
In questo post proponiamo un tuffo nel passato alla ricerca della correlazione esistente tra il numero phi e l’universo. Presentiamo quindi un libro, unico nel suo genere per acume e obiettività , che ha l’intento di trasmettere questo fascino per l’ignoto: La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni (Milano 2005), saggio scritto da Mario Livio, astrofisico, dirigente del dipartimento scientifico dell’istituto del telescopio spaziale di Hubble.
Il libro vuol essere un’esplorazione nella storia della matematica della natura e dell’architettura alla ricerca del numero sfuggente alla mente umana per antonomasia: il numero phi. Il suo fine è quello di immergere il lettore in un viaggio alla scoperta delle meraviglie sia naturali che umane, che spesso ci sfuggono a un primo sguardo.
L. inizia la sua ricerca dagli egizi, prendendo in esame la piramide di Cheope con le sue proporzioni. L’analisi numerologica della struttura di questi imponenti monumenti funerari è piena di fascino e di colpi di scena. Smyth e Taylor, due dei più grandi sostenitori della conoscenza di phi da parte degli egizi, riportano una citazione di Erodoto che afferma di aver appreso dai sacerdoti il segreto della proporzione tra altezza e area delle facce triangolari laterali della piramide. Questa testimonianza permetterebbe di attribuire la conoscenza della sezione aurea proprio agli egizi, anche se ulteriori approfondimenti sembrano collegare i rapporti dimensionali a tecniche costruttive in vigore in quei tempi. In altre parole gli architetti egizi, per decidere la pendenza della piramide, dovevano stabilire di quanto gli operai dovevano alzarla per ogni “cubito rotante†(rullo) di spostamento orizzontale. Essendo il cubito rotante pari a un cubito lineare per ‘pi greco’, verrebbe svelato l’arcano della presenza di ‘pi greco’ e phi nelle piramidi. Anche se molto probabilmente gli egizi non conoscevano la sezione aurea, non per questo viene meno il fascino di questa grandezza secondo L.; un fascino universale, testimoniato pure dalla prima strofa della poesia “media Aurea†di Bruckman: “La media aurea non è affatto banale Tutt’altra cosa che un comune irrazionale. Capovolta, pensate un po’, resta se stessa meno l’unità . Se poi di uno la aumentate quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.”
Il viaggio di L. prosegue per approdare in uno dei lidi più affascinanti della matematica: la serie di Fibonacci. Si deve a Simson la dimostrazione della correlazione esistente tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo. Procedendo lungo la serie di Fibonacci, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla intorno al numero phi avvicinandosi sempre di più. Da tale osservazione discende una miriade di implicazione matematiche tra cui penso sia importante ricordare la correlazione con le frazioni continue. Interrompendo il calcolo dopo un numero abbastanza alto di interazioni, troviamo che il numero converge verso la formula del rapporto aureo. Questa proprietà Bruckman la descrive così: “Scritta come frazione con continuità , è uno, uno, uno,…, fino a sazietà ; Così chiara che più chiara alcuna non resta (non vi comincia a girare un po’ la testa?).â€
La ricerca della sezione aurea nella natura ci conduce nel regno vegetale e precisamente nello studio degli schemi ripetitivi presenti nelle foglie sui rami, nelle squame delle pigne e nei semi di girasole. Il fenomeno va sotto il nome di filotassi e sta a indicare la disposizione delle foglie secondo uno schema ben definito. Il melo, l’albicocco presentano foglie che si sviluppano a spirale ogni due quinti di giro; il pero, il salice piangente ogni tre ottavi. In sostanza la natura rispecchia una certa correlazione con il rapporto aureo per ottimizzare le proprie caratteristiche, come nel caso delle foglie che in questo modo massimizzano la loro esposizione solare. Oltre la disposizione anche il numero delle foglie hanno una correlazione con il numero di Fibonacci e di conseguenza con phi. Quanti di noi, almeno una volta nella vita, hanno interrogato i petali della margherita intorno alla questione m’ama non m’ama? La maggior parte delle margherite dei campi hanno numeri di petali secondo la serie di Fibonacci che possono essere tredici, ventuno, trentaquattro, per cui essendo due su tre dispari, cominciando con ‘m’ama’ il buon esito è garantito.
Potremo continuare all’infinito per descrivere tutte le peculiarità del numero phi senza poter essere esaustivi, poiché esisterà sempre una situazione impensata in cui verrà fuori. Questa grandezza ha affascinato le migliori menti matematiche di ogni tempo, ha interessato biologi, artisti, architetti, mistici, spesso è stata additata come il numero dell’armonia dell’universo. Il mio intento è soltanto quello di condividere con altri il fascino che esercita su di me questo numero sfuggente. Volevo concludere citando una frase di Eistein: “ Quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci sia dato da vivere. E’ l’emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza.”
M. T.
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