Esaminiamo il concetto di matematica attraverso la lettura di L’istinto matematico. Perchè sei anche tu un genio dei numeri (Milano 2007), scritto da Keith Devlin, dirigente del Center for the Study information della Standford University e esperto di divulgazione scientifica presso la BBC.
In questo libro, D. approfondisce il concetto di matematica mettendo in luce quanto sia riduttivo limitarne il significato ad una sola questione di numeri. In realtà molte azioni quotidiane sono riconducibili a calcoli matematici che svolgiamo in maniera istintiva. L’autore cerca di farci avvicinare alla matematica mostrandola in ogni sua forma e mettendo quindi in evidenza che siamo in grado di risolvere istintivamente calcoli matematici molto complessi.

Il filo conduttore di tutto il libro è la domanda “che cos’è la matematica” nella sua definizione più generale e quali siano le sue espressioni nel mondo animale e vegetale. D. fornisce una delle definizioni più eleganti che si possano dare: la matematica è lo studio di pattern (cit Douglas Hofstadter in Godel, Escher, Bach) . In sostanza il mondo può essere visto come un enorme puzzle e noi ne utilizziamo i pezzi per enumerarlo. I numeri sono nati quando i nostri antenati hanno capito che insiemi di tre buoi, tre lance, ecc. avevano in comune qualcosa: l’esser-tre. I numeri sono oggetti inventati per descrivere questi pattern. In maniera analoga si scopre l’esistenza di pattern di numeri e così nasce l’aritmetica. Da un percorso analogo è nato il concetto di geometria come espressione di un pattern di forma. Il discorso potrebbe continuare fino a spiegare il calcolo infinitesimale come espressione di un pattern di moto oppure il calcolo probabilistico come espressione di un pattern di eventi casuali ripetitivi. L’osservazione della natura porta D. a riflettere su quanto sia importante la componente istintiva nella risoluzione dei problemi matematici della vita quotidiana. Nel regno animale si possono incontrare opere di architettura affascinanti, come quelle costruite dalle api. Pensiamo per un attimo alle celle dell’alveare, la loro forma ad esagono regolare esprime il pattern di forma più efficiente per coprire una grande area. In poche parole le api risolvono istintivamente in maniera perfetta un problema di geometria bidimensionale. Un’altra risposta della natura a un problema matematico è la forma delle macchie nei mantelli delle tigri e del leopardo. Il professor Murray ha messo in evidenza la corrispondenza esistente tra la forma embrionale nel momento delle reazioni chimiche che regolano la colorazione e il pattern del mantello dell’animale. Per fare un esempio prendiamo in esame il caso della zebra: che nel momento della reazione che determina il colore del manto il suo embrione è prevalentemente allungato a forma di matita; il risultato è dunque evidente: un pattern a strisce. Il leopardo, invece, avendo una forma embrionale tondeggiante nel momento della reazione, ha un manto a macchie prevalentemente circolari. Ovviamente siamo tutti d’accordo sul fatto che questi esempi non coincidano con la nostra idea di fare matematica, ma comunque testimoniano come l’evoluzione abbia sviluppato esseri in grado di risolvere istintivamente problemi matematici complessi. D. ha continuato la ricerca per identificare se alcuni animali siano in grado di risolvere problemi matematici come noi siamo abituati ad intenderli. Ebbene sì! Topi e scimpanzé riescono a gestire matematicamente problemi molto semplici. E noi come esseri umani cosa centriamo in tutto questo discorso?. D. presenta uno studio molto interessante sull’utilizzo della matematica nella vita quotidiana e precisamente tra le corsie dei supermercati. I risultati testimoniano una buona propensione alla risoluzione dei problema reali, ma anche un’elevata incapacità di risolvere problemi astratti analoghi. Il problema sembra risiedere nell’incomprensione della matematica studiata tra i banchi di scuola. A tal proposito è interessante lo studio svolto da Jean Lave nell’Adult Math Project, che ha messo in evidenza una forte dipendenza del risultato dalla forma in cui si presentava il problema. Facciamo un esempio: una tester è stata bravissima (93% di risultati positivi) nella simulazione di spesa fatta a casa, cioè riusciva molto bene quando gli veniva presentato un cartoncino che diceva 3 etti del prodotto A costano 4 dollari e un altro cartoncino che indicava 6 etti del prodotto B costano 7 dollari e gli si chiedeva quale fosse quello più conveniente. Ma la stessa persona falliva (solo 59% di risultati positivi) quando le si chiedeva di individuare il maggiore tra 4/3 e 7/6. La conclusione appare ovvia: il problema non sembra essere tanto dovuto all’incapacità o meno di fare matematica, ma quanto alla difficoltà di astrazione matematica. Le ricerche hanno messo in luce anche quali siano gli aspetti più critici evidenziando che la presenza della virgola nei dati del problema e la divisione delle frazioni rende molto più difficile il calcolo. In sintesi, la maggior parte delle persone sembra che escano da scuola senza riuscire a padroneggiare le regole cruciali per le trasformazioni da effettuare prima o dopo il calcolo elementare. La spiegazione più plausibile è che gli studenti imparano meccanismi di risoluzione senza mai comprenderli davvero. Quindi, quando questi studenti diventano adulti, riescono ad applicare nella vita reale le regole apprese, ma perdono la capacità di sintesi astrattiva.

Emerge da quest’analisi un quadro generale che mette in luce la difficoltà dell’uomo nell’acquisire metodi universali da applicare a casi concreti piuttosto che nello sviluppare un’attitudine alla risoluzione di casi specifici. L’apprendimento di un metodo astratto avviene quando l’esperienza di calcolo diventa dello stesso ordine di grandezza dell’esperienza concreta. In poche parole, è necessario avere un’esperienza di astrazione, sia diversificata che continuativa, che non annoi lo studente e gli faccia provare il piacere di fare matematica astrattiva.
Penso che la scuola in tal senso debba intervenire e aiutare l’uomo a sviluppare maggiormente questa attitudine per poter agire in maniera più generale ed essere più consapevole e critico. E’ importante introdurre un aspetto meno razionale che coinvolga la creatività nell’approcciarsi alla matematica astratta, creando maggiore curiosità e rafforzando la capacità di apprendimento.

M.T.

Cosa c’entra Briatore con la media armonica? Ci si bagna di più correndo o camminando? E’ facile trovare una persona che condivida la tua stessa data di compleanno? Come trovare il parcheggio più comodo? Che giorno della settimana era il giorno del tuo compleanno? Vestendo i panni del signore IoCheSononegatoperlamatematica ripercorriamo alcuni momenti della vita quotidiana per scoprire che facciamo uso della matematica tutti i giorni, anche senza accorgercene.

Apriamo le porte alle scienze pure, cioè alla matematica, alla fisica e all’informatica, attraverso L’algoritmo del parcheggio. Il lato divertente della matematica (Milano 2007), un libro di divulgazione scritto dal matematico ed informatico Furio Honsell, già rettore dell’Università di Udine e attualmente sindaco della stessa città.
Il nostro signore IoCheSononegatoperlamatematica (che per comodità citeremo solo con le iniziali I.C.S.) ci illustra come dietro i nostri gesti quotidiani (l’ordine con cui scegliamo di procedere al nostro risveglio, la scelta degli spiccioli per il resto, etc.), esiste una logica matematica. Allo stesso modo i calcoli delle probabilità di vittoria nella schedina del totocalcio oppure il gioco televisivo dei pacchi implicano pure questioni matematiche. Si sfata così una volta per tutte l’idea che “i numeri siano quella roba noiosa e inutile confinata in qualche brutto ricordo scolastico”; anzi possono essere belli e divertenti e soprattutto celano una costante sfida.

In maniera scherzosa ed efficace H. ci fa vivere la giornata del signore I.C.S. e ci presenta il primo quesito matematico del giorno: il protagonista si domanda se, prendendo la bicicletta, possa far prima con o senza vento oppure se non impieghi lo stesso tempo. In realtà la risposta è stata fornita in una trasmissione televisiva (Che Tempo che fa) da Flavio Briatore e può essere riformulata nei seguenti termini: “Qual è la velocità media di un’automobile di Formula 1, se metà dei giri sono coperti a 100 km/h e l’altra metà a 300 km/h?”. Di primo acchito potrebbe venire da rispondere 200 km/h, cioè la media aritmetica delle velocità [(100+300)/2]; invece, dietro questo semplice quesito, si cela un concetto matematico un po’ più sofisticato che va sotto il nome di media armonica. (L’utilizzo della media aritmetica non è corretto, in questo caso, poiché i tempi delle suddette velocità non sono gli stessi, anzi i tempi sono i reciproci delle velocità ([reciproco di n] = 1/n)). Supponiamo che il percorso totale sia di 600 km: i primi 300 km sono stati svolti a 100 km/h, impiegando 3 ore per percorrerli, mentre la seconda parte è stata coperta a 300 km/h, impiegando quindi 1 ora per terminare i giri; risulterà dunque in totale una velocità media di 600/(1+3) (velocità = spazio in km diviso per il tempo totale di percorrenza), cioè 150 km/h, come brillantemente calcolato a mente da Briatore.
Tornando al nostro signor I.C.S, presentiamo un secondo quesito. In un giorno di pioggia, dovendo uscire senza ombrello, il protagonista si chiede: “Per bagnarmi di meno sotto la pioggia conviene camminare o correre?”. Per rispondere a questo quesito H. cita il lavoro del fisico De Angelis pubblicato su “European journal of Physics” (1987), poi ripreso anche dalla rivista “Scienze”, con cui si risponde una volta per tutte a tale annosa questione. In realtà la domanda va riformulata dividendola in due problemi: 1) dovendo aspettare l’autobus mi bagno più se aspetto fermo o mi muovo? 2) dovendo attraversare una piazza mi bagno di più se cammino o corro? Rispondere alla prima domanda in realtà equivale a chiedersi se, a parità di tempo, ci si bagna di più stando fermi o muovendosi: il principio della relatività di Galileo (applicabile a velocità inferiori alla luce) ci fornisce subito la risposta, in quanto la quantità di pioggia che ci colpisce verticalmente è la stessa sia che ci muoviamo sia che restiamo fermi. Invece, frontalmente, la pioggia diventa più intensa quanto più ci muoviamo (fenomeno percepibile quando andiamo in macchina durante una precipitazione). Il secondo quesito invece equivale a fissare lo spazio; diventa quindi determinante valutare il tempo in cui si rimane sotto la pioggia. In questo caso la quantità frontale di pioggia rimarrà la stessa, poiché all’aumento dell’intensità diminuirà proporzionalmente la durata di pioggia; cambierà invece la quantità di pioggia verticale che sarà inversamente proporzionale alla velocità.
La domenica successiva il nostro signore I.C.S., davanti una ricevitoria, ci presenta un nuovo quesito molto affascinante: la probabilità di fare 13 al totocalcio. Dovendo fare la schedina, il protagonista si trova davanti a un numero di combinazioni pari a 3 elevato alla tredicesima [3^(13)]: fare 13 significa indovinarle tutte, si ha cioè una possibilità su 1.594.323. Allora viene da chiedersi: qual è la possibilità di fare zero? Beh, ci sono per ogni risultato due casi possibili, quindi le combinazioni sono pari a 2 elevato alla tredicesima [2^(13)], che equivale a 8.192. A questo punto al signor I.C.S. si domanda: qual è il risultato più probabile? Ebbene, partendo dal fatto che tutti i risultati per noi sono equiprobabili, fare 1 significa avere il risultato corretto per una colonna e aggiungere tutte le colonne che danno il risultato sbagliato, perciò avremo 13X2 elevato alla dodicesima [13X(2^(12))], che equivale a 53.248. Continuando in questo modo si può verificare, con un po’ di pazienza, che il risultato più probabile è 4: quando cioè il prodotto delle combinazioni con risultato giusto con quelle con il risultato sbagliato, hanno una probabilità maggiore di tutte le altre combinazioni (in realtà si ha sempre qualche informazione calcistica, per cui il risultato reale più probabile è normalmente un po’ di più di 4).
Qualche giorno più tardi troviamo il nostro I.C.S. in una trasmissione televisiva davanti alla seguente domanda: “Esistono persone nello studio nate nello stesso giorno?”. Il calcolo della probabilità in realtà è semplice anche in questo caso, se sviscerato a dovere: infatti se la prima persona ha 365 possibilità su 365, il secondo ne avrà 364 su 365 così via ( il 20-esimo avrà 365-19 possibilità su 365). Utilizzando un po’ di analisi si arriva al risultato che un gruppo di una quarantina di persone è sufficiente perché si dia già il 90% di probabilità che esista almeno una coppia nata nello stesso giorno dell’anno. (Per chi si volesse divertire con un pò di matematica in realtà il numero minimo di persone necessarie per avere una probabilità stabilita è:

sqrt(2x(giorni dell’anno)xln(100/TOT)),

dove sqrt sta per radice quadra e ln per logaritmo naturale.

Il signor IocheSononegatoperlamatematica è presente in ognuno di noi. Le domande che si pone sono i quesiti che affrontiamo quotidianamente per risolvere molte situazioni. Spesso la nostra esperienza educativa ci ha fuorviato, distorcendo la nostra idea di matematica, ridotta a una noiosa concatenazione di numeri senza senso. Il post è per me un pretesto per parlare a quelli che spesso si annoiano davanti a problemi matematici e fisici, reputandoli inutili, e far loro conoscere, al contrario, il lato divertente e pratico della matematica, quello che mi affascina ancora ogni giorno.
P.S.: se volete sapere come scegliere il parcheggio migliore per la vostra auto, vi suggerisco di leggere questo libro prima di mettervi al volante!

M.T.